Geboren 1966 in München, studierte Friedrich Geiger Musik, Historische und Systematische Musikwissenschaft sowie Lateinische Philologie in München und Hamburg. 1997 promovierte er bei Peter Petersen über das dramatisch-oratorische Schaffen des russisch-deutschen Komponisten Wladimir Vogel (1896-1984). Von 1997 bis 2002 leitete er das Forschungs- und Informationszentrum für verfemte Musik, eine gemeinsame Einrichtung des Dresdner Zentrums für zeitgenössische Musik und der TU Dresden. 2003 habilitierte er sich an der Universität Hamburg mit der Studie Musik in zwei Diktaturen. Verfolgung von Komponisten unter Hitler und Stalin. Im selben Jahr wechselte er als Wissenschaftlicher Mitarbeiter von Albrecht Riethmüller an die FU Berlin, wo er in dem DFG-Sonderforschungsbereich „Ästhetische Erfahrung im Zeichen der Entgrenzung der Künste“ in einem Projekt zum musikalischen Urteil forschte. Er unterrichtete seit 2000 als Lehrbeauftragter an verschiedenen Universitäten. Ab dem Sommersemester 2007 lehrte er als Professor für Historische Musikwissenschaft an der Universität Hamburg. Zum Sommersemester 2020 folgte er einem Ruf der Hochschule für Musik und Theater München auf den Lehrstuhl für Historische Musikwissenschaft. Im Sommer 2020 wurde er zum Ordentlichen Mitglied der Academia Europaea gewählt.
Die Arbeitsgebiete von Friedrich Geiger liegen in der Musikgeschichte vom 18. Jahrhundert bis zur Gegenwart sowie in der Musik und Musikästhetik der griechisch-römischen Antike und ihrer Rezeption. Schwerpunkte bilden die vergleichende Forschung zur Musik in Diktaturen und im Exil, die Historiographie der populären Musik, die Geographie der Musikgeschichte und das musikalische Urteil.